1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Утверждение 1.
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно Утверждение 2.
Если m и n уравнения (1) взаимно числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Утверждение 3.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Утверждение 4.
Если m и n – взаимно числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
1) 9x – 18y = 5
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)
Самым прямым последствием крестовых походов, если оставить в стороне гибель миллионов людей, было основание на Востоке, за счет мусульман и Византийской империи, нескольких католических государств, занятых французскими рыцарями и итальянскими купцами. Эти европейцы, никогда не достигавшие большого числа, были вытеснены, и единственными следами их пребывания на Востоке остались развалины их замков в портах и горах Греции и Сирии. Но в течение двух веков своего господства на Востоке крестоносцы установили правильные сношения между христианами Европы и мусульманскими государствами.
Для перевозки паломников в Святую Землю города средиземного побережья организовали транспортные флоты; кони,которых всегда везли с собой крестоносцы, перевозились на судах, где трюм открывался сбоку. Для защиты против пиратов употребляли корабли, оснащенные по-военному, и отправляли сразу целый флот. В эпоху Крестовых походов существовало два рейса: один – весной (большой рейс) для паломников, которые шли в Святую Землю на Пасху, другой – летом. Перевозка паломников давала большие доходы; поэтому сильные города удержали ее за собой; можно было отъезжать лишь из определенных портов: в Италии – из Венеции, Пизы и Генуи, во Франции – из Марселя. Тамплиеры получили привилегию отправлять в каждый рейс по одному кораблю.
Морем или сушей миллионы христиан отправлялись из Европы на Восток; крестовый поход был для них как бы образовательным путешествием. Они выходили из своих замков или местечек более невежественные, чем наши крестьяне, и внезапно видели перед собой большие города, новые страны и неизвестные обычаи. Все это будило их ум и обогащало его новыми идеями. Это лучшее ознакомление Европы с народами Востока, заимствование у них некоторых искусств и обычаев тоже было важным последствием крестовых походов.
Западноевропейцы получали более правильное представление о мусульманах. Первые крестоносцы считали их дикарями и идолопоклонниками, пророка Магомета – кумиром, а позже еретиком. В XIII в. христиане уже знали сущность ислама и признавали мусульманскую культуру выше своей собственной.
