1. если в двузначном числе, записанном в p-ичной системе счисления, поменять местами цифры, то оно увеличится в 4 раза. при каком минимальном значении p это может быть? ответ обосновать.

Если исходное число записывается как ab, то оно равно aP + b, с переставленными цифрами bP + a, и второе число должно быть в 4 раза больше первого. Перебираем все варианты цифр 1 <= a, b <= P - 1 до тех пор, пока не найдём подходящий пример:
P = 2
found = False
while not found:
    for a in range(1, P):
        for b in range(1, P):
            if P * b + a == 4 * (P * a + b):
                print(P, a, b)
                found = True
    P += 1

Находим, что при P = 9 число 17_9 = 16 в 4 раза меньше числа 71_9 = 64.

ответ: 9