Водной из вершин треугольника сидит лягушка. она прыгает по вершинам треугольника, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин. сколькими лягушка может попасть в начальную вершину за 9 прыжков?

Обозначим количество попасть обратно в начальную вершину за n прыжков как A(n), а количество попасть в одну из двух других вершин как B(n) (очевидно, количество одинаково для обеих вершин). Тогда:

A(n) = 2*B(n-1) {находясь в одной из двух не-начальных вершин после n-1 прыжка, лягушка прыгает в начальную вершину}
B(n) = A(n-1) + B(n-1) {лягушка прыгает либо из начальной, либо другой не-начальной}

A(1) = 0
B(1) = 1

Далее по формулам
 A    B - n
  0    1 - 1
  2    1 - 2
  2    3 - 3
  6    5 - 4
10  11 - 5
22  21 - 6
42  43 - 7
86  85 - 8
170 9

ответ: 170