54789913 каждая цифра заменяется собственным квадратом. в случае если квадрат представляет собой двузначное число сумма цифр составляющая это число складывается до тех пор пока не получится цифра. к заданной цепочке примените этот алгоритм пятикратно.

// PascalABC.NET 3.0, сборка 1073
var
  i,j,d,err:integer;
  s,si:string;
begin
  s:='54789913';
  Writeln('Исходная цепочка:  ',s);
  for i:=1 to 5 do begin
    for j:=1 to Length(s) do begin
      Val(s[j],d,err);
      d:=sqr(d);
      while d>9 do d:=(d div 10)+(d mod 10);
      Str(d,si);
      s[j]:=si[1];
    end;
  end;
  Writeln('Цепочка-результат: ',s)
end.
 
Тестовое решение:
Исходная цепочка:  54789913
Цепочка-результат: 77419919