Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется некоторый физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.
Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется позиционной. (Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления).
В десятичной системе счисления десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.
Так, число 123,45 можно записать в виде выражения
123,45 = 1·102+2·101+3·100+4·10-1+5·10-2.
Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр anan-1...a1a0,a-1a-2...a-m основана на представлении этого числа в виде полинома:
x = an·10n+an-1·10n-1+...+a1·101+a0·100+
+a-1·10-1+a-2·10-2+...+a-m·10-m
где ai - десятичные цифры. При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной, является, по существу, началом отсчета.
Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P-ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10.
Для записи произвольного числа в P-ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называютсябазисными.
Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома:
x = an·Pn+an-1·Pn-1+...+a1·P1+a0·P0+a-1·P-1+a-2·P-2+...+a-m·P-m
Каждый коэффициент данной записи может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Числа в P-ичной системе счисления записываются в виде перечисления всех коэффициентов полинома с указанием положения запятой.
В качестве базисных чисел обычно используются числа от 0 до P-1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса. В десятичной записи, например 12,43810.
