За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 66. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 66 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 58.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Давайте разберемся пошагово.

Нам дано, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Это означает, что Петя сделал первый ход и оставил Ване позицию, при которой в кучах будет 66 или больше камней.

Предположим, что во второй куче было S камней перед ходом Пети. После первого хода Пети, количество камней в кучах претобразуется следующим образом:

1. В Петином первом ходу он может добавить 2 камня в одну из куч. Тогда суммарное количество камней станет 7 + 2 = 9 в первой куче и S + 2 во второй куче.
2. Если Петя увеличивает количество камней в куче в два раза, то суммарное количество камней станет 7 и 2S во второй куче.

То есть, после первого хода Пети суммарное количество камней может быть либо равно 9 + S, либо 7 + 2S.

Теперь у нас есть два варианта, в которых Ваня может выиграть своим первым ходом:

1. Вариант 1: суммарное количество камней становится не менее 66 после первого хода Вани, когда камней было 9 + S. То есть, Ваня может добавить 2 камня в одну из куч и получить суммарное количество камней 9 + S + 2, которое должно быть не меньше 66. Это можно записать как неравенство: 9 + S + 2 ≥ 66. При решении этого неравенства получаем S ≥ 55.

2. Вариант 2: суммарное количество камней становится не менее 66 после первого хода Вани, когда камней было 7 + 2S. То есть, Ваня может увеличить количество камней в любой из куч в два раза и получить суммарное количество камней 7 + 2 * 2S, которое должно быть не меньше 66. Это можно записать как неравенство: 7 + 4S ≥ 66. При решении этого неравенства получаем S ≥ 14.

Таким образом, минимальное значение S, когда Ваня может выиграть своим первым ходом, равно 55.