Составить логическое выражение и таблицу истинности для следующего суждения.
"Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда равны все его стороны или равны все его углы"

var

 s, s1, s2, s3, s4, tmp1, tmp2: string;

 i, a, b, c, d, e, f: integer;

begin

 Writeln('Введите строку: ');

 Readln(s);

 //

 for var k := 1 to length(s) do  

 begin

   if (s[k] = '(') then

   begin

     var j := k + 1;

     while (s[j].IsDigit) do

     begin

       tmp1 := tmp1 + s[j];

       j := j + 1;

     end;

     var ch := s[j];

     j := j + 1;

     while (s[j].IsDigit) do

     begin

       tmp2 := tmp2 + s[j];

       j := j + 1;

     end;

     case ch of

       '+': begin s := s.Remove(k - 1, j - k + 1); s := s.Insert(k - 1, inttostr(tmp1.ToInteger + tmp2.ToInteger)); end;

       '-': begin s := s.Remove(k - 1, j - k + 1); s := s.Insert(k - 1, inttostr(tmp1.ToInteger - tmp2.ToInteger)); end;

       '*': begin s := s.Remove(k - 1, j - k + 1); s := s.Insert(k - 1, inttostr(tmp1.ToInteger * tmp2.ToInteger)); end;

       '/': begin s := s.Remove(k - 1, j - k + 1); s := s.Insert(k - 1, inttostr(tmp1.ToInteger div tmp2.ToInteger)); end;

     end;

     break;

   end;

 end;

 //

 for i := 1 to length(s) do

 begin

   if (s[i] = '+') or (s[i] = '-') or (s[i] = '*') or (s[i] = '/') then

   begin

     s1 := copy(s, 1, i - 1);

     s2 := copy(s, i + 1, length(s));

     c := i;

   end;

 end;

 for i := 1 to length(s1) do

 begin

   if (s1[i] = '+') or (s1[i] = '-') or (s1[i] = '*') or (s1[i] = '/') then

   begin

     s3 := copy(s1, 1, i - 1);

     s4 := copy(s1, i + 1, length(s1));

     e := i;

   end;

 end;

 Val(s3, a, d);

 Val(s4, b, d);

 Val(s2, f, d);

 if (s[e] = '/') and (s[c] = '/') then Writeln((a div b) div f);

 if (s[e] = '/') and (s[c] = '*') then Writeln((a div b) * f);

 if (s[e] = '+') and (s[c] = '*') then Writeln(a + (b * f));

 if (s[e] = '*') and (s[c] = '*') then Writeln(a * b * f);

 if (s[e] = '+') and (s[c] = '/') then Writeln(a + (b div f));

 if (s[e] = '*') and (s[c] = '+') then Writeln((a * b) + f);

 if (s[e] = '/') and (s[c] = '+') then Writeln((a div b) + f);

 if (s[e] = '*') and (s[c] = '/') then Writeln((a * b) div f);

 if (s[e] = '+') and (s[c] = '+') then Writeln(a + b + f);

 if (s[e] = '-') and (s[c] = '-') then Writeln(a - b - f);

 if (s[e] = '+') and (s[c] = '-') then Writeln(a + b - f);

 if (s[e] = '-') and (s[c] = '+') then Writeln(a - b + f);

 if (s[e] = '*') and (s[c] = '-') then Writeln((a * b) - f);

 if (s[e] = '/') and (s[c] = '-') then Writeln((a div b) - f);

 if (s[e] = '-') and (s[c] = '*') then Writeln(a - (b * f));

 if (s[e] = '-') and (s[c] = '/') then Writeln(a - (b div f));

end.

Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:



Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.

Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.

Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов:

Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.

Итак, должно выполняться


Подставив в исходную формулу, получаем


Это и есть ответ.