Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат
две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один
ход игрок может добавить один камень в одну из куч и два камня в другую
или же увеличить количество камней в любой куче в два раза. Например,
пусть в одной куче 6 камней, а в другой 8 камней; такую позицию мы будем
обозначать (6, 8). За один ход из позиции (6, 8) можно получить любую из
четырёх позиций: (7, 10), (8, 9), (12, 8), (6, 16). Чтобы делать ходы, у каждого
игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах
становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний
ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 41 или
больше камней.
В начальный момент в первой куче было 8 камней, во второй куче – S камней,
1 ≤ S ≤ 32.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может
выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит
описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной
стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не
являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантируют
выигрыш независимо от игры противника.
Выполните следующие задания.
Задание 1.
а) Назовите все значения S, при которых Петя может выиграть первым
ходом.
б) Петя сделал неудачный первый ход, после которого Ваня выиграл своим
первым ходом. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.
Задание 2.
Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть
первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, следуя которой, он
26
может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить
Ваня. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Проанализируйте игру при S = 11. У кого из игроков в этом случае есть
выигрышная стратегия? Опишите эту стратегию и постройте дерево всех
партий, возможных при этой выигрышной стратегии, в виде рисунка или
таблицы. В узлах дерева указывайте игровые позиции. Дерево не должно
содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком
своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не будет
верным ответом на это задание.
