Сечение цилиндра, параллельное оси, имеет площадь q и пересекает основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу α. найдите площадь осевого сечения цилиндра.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, все углы равны  60°. а биссектриса является и медианой и высотой. Поэтому она делит такой треугольник на два равных прямоугольных. 

Примем сторону треугольника равной а. Тогда высота - один катет, половина стороны - другой катет, сторона - гипотенуза. 

По т.Пифагора а²=(a/2)²+h²

откуда а²=4h²/3

Заменив в этом выражение h на 12√3, получим

а²=4•12*•3/3=4•12², откуда 

а=√(4•12*)=2•12=24 (ед. длины)

-----------------

Короткое решение:

Биссектриса (медиана,  высота) равностороннего треугольника h=а•sin60°, откуда 

a=h:sin60°

a=12√3:(√3/2)=24

правильная четырехугольная пирамида
основание квадрат - пусть сторона =b
тогда диагональ основания d =b√2
боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов.
Значит диагональное сечение пирамиды равносторонний треугольник
тогда боковое ребро c=d =b√2
тогда апофема боковой грани
A^2= c^2 - (b/2)^2=(b√2)^2 - (b/2)^2 =b^2 (2-1/4)=b^2*7/4
A =b*√(7/4) = b/2*√7
тогда КОСИНУС линейного угла двугранного угла при основании
cos<a = (b/2)/A = (b/2)/(b/2*√7) = (b/2)/(b/2*√7) = 1/√7
<a = arccos 1/√7  (или 67.79 град )