abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad
тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4;
пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y
площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy
выразим через s площади befc и aefd.
площадь aefd равна сумме площадей aofd и aeo.
рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd равна разности площадей acd и ocf:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
площадь befc равна разности площадей abcd и aefd:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27
1. 1)Треугольники АСЕ и АВД равны по второму признаку равенства треугольников.
Действительно, у них угол А - общий, АВ=АС по условию, углы АСЕ и АВД раны тоже по условию.
2) Т.к. в равных треугольниках соответственные стороны равны, то АЕ=АД=15 см, АС=АВ=7см, ЕС=ВД=10см
2. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по первому признаку равенства треугольников.
В них АВ=А₁В₁ по условию, АС = А₁С₁ по условию, ∠А=∠А₁ по условию.
В равных треугольниках соответственные углы В и В₁ равны.
Теперь рассмотрим треугольники АВК и А₁В₁К₁, они равны тоже по первому признаку, т.к. АВ=А₁В₁ по условию, углы В и В₁ равны по доказанному, а т.к. КС=К₁С₁ по условию и ВС=В₁С₁ по доказанному, то и остатки равных сторон ВК=В₁К₁
3. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по первому признаку, у них углы А и А₁ равны по условию, АВ=А₁В₁; АС=А₁С₁ по условию.
Значит, АС -ДС = А₁С₁-Д₁С₁, т.е. АД=А₁Д₁, как остатки равных сторон.
Тогда треугольники АВД и А₁В₁Д₁ равны по первому признаку равенства треугольников, в них АВ=А₁В₁ по условию, АД=А₁Д₁ по доказанному, ∠ А =∠ А₁
равны по условию.
