На сторонах ab и ac равнобедренного треугольника abc отмечены точки p и q так что ap: pb=2: 1 и aq : qc= 1: 2 . докадите что премые ac и pq перпендикулярные. решите как в 7классе

Пусть дан ромб ABCD, проведем из вершины C высоту CH ромба. Площадь ромба = a*(CH), где а - это длина стороны ромба.
Понятно, что относительно прямой AD, CD - это наклонная, а CH- перпендикуляр. И CD>=CH.
Понятно, что чем больше высота (CH) тем больше площадь ромба, сторона же ромба по условию является константой.
CH<=CD.
Тогда предельный случай когда CH=CD=а - это случай когда точки H и D совпадают, то есть отрезки CH и СD совпадают. То есть наклонная сама является перпендикуляром. Тогда СH=a, а ромб в этом случае является квадратом, т.к. его стороны перпендикулярны (в этом случае).
и площадь это квадрата будет a*a = a^2.

Задача № 4 -

Вариант 1:  АС = с*b /(а-с);

Вариант 2: АВ = (а * с) / b

Задача № 5 - см. объяснение.

Объяснение:

Задача № 4.

Вариант 1.

1) Треугольники АСС1 и АВВ1 подобны, согласно признаку о равенстве 3-х углов.

2) В подобных треугольниках отношения сторон, лежащих против равных углов, равны.

3) Составляем пропорцию и решаем её:

а : с = (АС+b) : АС,

откуда (т.к. в пропорции произведение средних равно произведению крайних)

а * АС = с*АС + с*b,

а * АС - с*АС  = с*b,

АС *(а-с) = с*b,

АС = с*b /(а-с)

ответ: АС = с*b /(а-с)

Вариант 2.

1) Треугольники АСС1 и АВВ1 подобны, согласно признаку о равенстве 3-х углов.

2) В подобных треугольниках отношения сторон, лежащих против равных углов, равны.

3) Составляем пропорцию и решаем её:

b : АВ = с : а,

откуда (т.к. в пропорции произведение средних равно произведению крайних)

а * b = АВ * с,

АВ = (а * с) / b

ответ: АВ = (а * с) / b

Задача № 5.

Вариант 1.

1) В параллелограмме АВСD  AB║ СD, так как являются противоположными сторонами параллелограмма.

2) В трапеции АВМN  АВ ║ МN, так как являются основаниями трапеции.  

3) Если две прямые СD и МN параллельны третьей прямой (AB), то они параллельны между собой. То есть СD║ МN.

Вариант 2.

1) Согласно условию задачи, АВСD и АВМN не лежат в одной плоскости, а пересекаются по линии АВ. Это значит, что точка C лежит в одной плоскости (АВСD), а точка N - в другой (АВМN) и не на линии АВ. Следовательно, прямые АВ и СN не лежат в одной плоскости, и, согласно определению, являются скрещивающимися (мимобiжнi).