Точка d находится на расстоянии 12 см от плоскости равностороннего треугольника авс и 13 см от вершин этого треугольника. найдите длину стороны треугольника авс.

Посмотри как просто. Диагонали при пересечении образовали 4 треугольника.Смотрим на один. Его  гипотенуза = 20 и катет = 16. По т Пифагора ищем второй катет 20² - 16² =400 - 256 = 144. второй катет = 12
Теперь ищем площадь этого Δ. S = 1/2·16·12 = 96
а теперь стандартную формулу площади Δ. S = 1/2 а·h
                                                                     96 = 1/2·20·h
                                                                      96 = 10h
                                                                      h = r = 9,6  

АВСД - ромб , О - точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба разбивают его на 4 равных прямоугольных треугольника. Для нахождения второй диагонали рассмотрим ΔАОВ(угол О=90). Пусть по условию АС=32, тогда АО=32:2=16(см)

Периметр ромба равен 4а ( а-- сторона ). Найдём сторону
Р=4а
4а=80
а=80:4=20
По теореме Пифагора найдём ОВ : ОВ²=АВ²-АО²     
ОВ²=20²-16²=400-256=144        ОВ=√144=12, тогда вторая диагональ 
ВД=2ВО=24
Теперь по формуле радиуса вписанной в ромб окружности , найдём радиус:

r=d1·d2/4а          r=32·24/4·20=768/80=9,6
ответ :9,6 см