,пусть о — центр вписанной окружности треугольника авс , т.е. точка пересечения биссектрис треугольника авс. на прямой вс отметим точки и а1 а2, на прямой ас — точки в11 и в2 , а на прямой ва — точки с1 и с2 так, что оа1=оа2=ао, ов1=ов2=во, ос1=ос2=осизвестно, чтоав=5,вс=7 , са=8 . найдите а1а2+в2в1+с1с2

Найдём проекции векторов

АВх = 1 - 0 = 1;   АВу = 0 - 1 = -1; то есть АВ(1; -1)

СDх = 2 - 1 = 1;    СDу = 1 - 2 = -1, то есть СD(1; -1)

векторы коллинеарны, если отношения их проекций равны, т.е. АВх/СDх = АВу/СDу. Действительно, 1/1 = -1/(-1).

Кроме того, одноимённые проекции имеют один и тот же знак, следовательно, векторы сонаправлены.

Эти векторы не только коллинеарны и сонаправлены, но и равны по модулю:

IАВI = IСDI = √(1² + (-1)²) = √2

Коллинеарные векторы равны, если они сонаправлены и имеют равные модули, следовательно вектор АВ = вектору СD, что и требовалось доказать.

Правило треугольника размножаем на 6 (и сколь угодно) векторов: начало следующего из конца предыдущего, по окончании замкнуть из начала первого в конец последнего (в этой задаче 6го). Это и будет суммарный вектор.
Если упорядочить вектора по углу поворота (уменьшения или увеличения), получится картинка многоугольника (здесь 7 угольника), треугольник -частный случай
Аналогично правило параллелограмма:
начала всех векторов приводим в одну точку, а дальше попарно суммируем:
диагональ предыдущей пары берем как сторону нового пар-ма и суммируем со следующим вектором. Варианты: просуммировать попарно 3 пары, затем полученные диагонали между собой