1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4
К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4
N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4
По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)
2.
Из решения первой задачи следует, что
АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC
По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)
1. SABC - пирамида, АВ = ВС = √5, АС = 4.
Пусть SO - высота пирамиды, тогда АО, ВО и СО - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы SAO, SBO и SCO - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. Тогда ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO по катету (общий SO) и острому углу.
Значит АО = ВО = СО, значит О - центр описанной около АВС окружности.
Стоит запомнить: Если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Так как треугольник АВС равнобедренный, О лежит на высоте ВН, проведенной к основанию. ВН является и медианой: АН = 2.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(5 - 4) = 1, ⇒
sin∠BAH = BH / AB = 1/√5
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = √5 / (1/√5) = 5
R = 5/2 = 2,5, т.е. ВО = 2,5
ΔSBO прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:
SO = BO = 2,5
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.
Так как ВО больше ВН, центр описанной около треугольника АВС окружности лежит вне треугольника. Чертеж пришлось уточнить.
2. Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. О лежит на высоте ΔАВС, так как он равнобедренный.
ВН - высота и медиана, ⇒ АН = СН = АВ/2 = 3 см.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
АВ = √(ВН² + АН²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.
sin∠BAH = BH/AB = 9/(3√10) = 3/√10
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = 3√10 / (3/√10) = 10
R = 10/2 = 5 см, т.е. ВО = 5 см
ΔSOB: ∠SOB = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SB² - BO²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³
