ответ: 169/24 см
Объяснение:
1. Точка D будет лежать на серединном перпендикуляре к стороне AB. Доказать можно так:
Построим точку D так, что AD = DB, тогда ΔADB - равнобедренный. Пусть E -- середина AB, тогда DE -- медиана, а по свойству р/б Δ является ещё высотой ΔADB.
2. AE = 1/2 AB = 1/2 * 13 = 13/2 см
По теореме Пифагора AC = 12 см
Рассмотрим ΔABC и ΔADE:
1) ∠A -- общий
2) ∠AED = ∠ACB
Следовательно, треугольники ABC и ADE подобны по двум углам.
k = AE : AC = 13/2 : 12 = 13/24 см
k = AD : AB = 13/24 см
AD = 13/24 * AB = 13/24 * 13 = 169/24 см = BD
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано). =>
∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). Тогда СК/КВ = АС/АВ.
Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>
СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2. =>
СК = КВ/2 = 12/2 = 6 см.
Или так:
∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°. =>
Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше). =>
АК = ВК = 12 см.
В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит
СК = АК/2 = 12/2 = 6см.
Или так:
Пусть СК = х. => ВС = 12+х.
В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.
Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3. =>
AC = √3·(12+х)/3. (1)
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).
Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3. =>
AC = х√3. (2).
Приравняем (1) и (2): √3·(12+х)/3 = х√3. => 12+х = 3х. =>
СК = х = 6 см.
