Вершины треугольника находятся в точках О(0, 0), А(0, 6), B(8, 0).
Отсюда следует, что заданный треугольник - прямоугольный, а его катеты лежат на осях , гипотенуза АВ = √(6² + 8²) = 10.
Находим точку пересечения биссектрис прямоугольного
треугольника АОВ.
Уравнение биссектрисы прямого угла: у = х.
Точка пересечения биссектрисы угла А с ОВ делится пропорционально 6 и 10. То есть: (8/16)*6 = 3, 8/16)*10 = 5.
Получаем уравнение биссектрисы угла А: у = (-6/3)х + 6 = -2х + 6.
Решаем систему двух уравнений.
{y = x,
{y = -2x + 6.
Вычтем из первого второе: х - (-2х) - 6 = 0, 3х = 6, х = 6/3 = 2.
у = х = 2. Найдена точка пересечения биссектрис: К(2; 2).
Находим разность координат при параллельном переносе А в К:
Δх = 2 - 0 = 2, Δу = 2 - 6 = -4.
Переходим к центру описанной окружности.
В прямоугольном треугольнике он находится в середине гипотенузы.
Координаты этой точки равны половинам координат точек А и В.
Точка С(8/2=4; 6/2=3) = (4; 3).
При параллельном переносе разность координат сохраняется.
Точка С1(4+2=6; 3+(-4)=-1) = (6; -1).
ответ: С1(6; -1).
а) Доказательством того, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС, служит совпадение проекции точки К на прямую ВМ.
Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат точкой А в начало, АД - по оси Ох, АВ - по оси Оу.
Уравнение АС: у = х.
Уравнение ВМ: у = (-5/7)х + 7.
Вычтем из первого уравнения второе: х - ((-5/7)х + 7) = 0,
12х = 49, координаты точки пересечения АС и ВМ: ((49/12); (49/12)).
Теперь определим координаты проекции точки К на АВС.
Рассмотрим осевое диагональное сечение по ребру РС.
Из подобия (6/(7√2/2)) = 1/m
где m - проекция РК на плоскость АВС, а, точнее, на диагональ АС.
m = 1*(7√2/2)/(6*2) = 7√2/12.
Разложим m по осям: x(m) = y(m) = (7√2/12)*(√2/2) = 7/12.
Теперь можно определить координаты точки Ко:
х(Ко) = у(Ко) = (7/2) + (7/12) = 49/12.
Доказано: точка К лежит в плоскости, перпендикулярной АВС.
б) V(КВСМ) = (1/3)S(BCM)*h(KKo).
S(BCM) = (1/2)*7*5 = 35/2.
Высота пирамиды РРо = √(6² - (7√2/2)²) = √(36 - (98/4)) = √95/2.
Высоту h(KKo) находим из подобия:
h(KKo) = (5/6)PPo = (5/6)*(√95/2) = (5√95/12).
ответ: V(КВСМ) = (1/3)*(35/2)*(5√95/12) = 175√95/72.
