Объяснение:
Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.
2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК.
3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.
4. В трапеции ABCD: AB = BC = CD, CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС, проходит через середину BD.
5. Пусть AA1 и BB1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС, М – середина АВ. Окружности, описанные около треугольников AMA1 и BMB1 пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно. Докажите, что К, М и L лежат на одной прямой.
6. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
10–11 класс
1. AD и BE – высоты треугольника АВС. Оказалось, что точка C', симметричная вершине С относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что АВ – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.
2. Прямая а пересекает плоскость α. Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от а и не пересекающих a. Верно ли, что а перпендикулярна α?
3. Дана неравнобокая трапеция ABCD (AB||CD). Произвольная окружность, проходящая через точки А и В, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.
4. Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше четырёх можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD: AC ⊥ BD, ∠BCA = 10°, ∠BDA = 20°, ∠BAC = 40°. Найдите ∠BDC. (ответ выразите в градусах.)
6. Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС; окружности, описанные около треугольников АВС и A1B1C, вторично пересекаются в точке Р, Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника АВС, проведённых в точках А и В. Докажите, что прямые АР, ВС и ZC1 пересекаются в одной точке.
После внимательного прочтения задания стало ясно, что цилиндр, основание которого находится за пределами основания пирамиды, прорезает боковое ребро CS и 2 боковые грани АCS и ВCS.
Верхнее основание цилиндра касается всех боковых граней в точках F, G, L.
Так как в основании правильный треугольник, то и в сечении пирамиды на уровне верхнего основания цилиндра, тоже правильный треугольник. Окружность верхнего основания цилиндра вписана в этот треугольник.
Проведём осевое сечение пирамиды и цилиндра перпендикулярно АВ. Получим треугольник CSD, где D - середина АВ.
SD = √(7² - (5/2)²) = √(49 - (25/4) = √171/2.
CD = 5√3/2 как высота правильного треугольника.
Угол SDС - это угол наклона боковой грани АВS к основанию.
Основа решения задачи – в равенстве высот точек касания верхней основы цилиндра граней ABS и CBS (из за симметрии граней CBS и CАS рассматриваем одну).
Н– высота цилиндра, R – радиус основания.
cos SDС = (( 5√3/2)² + (√171/2)²) - 32/(2* (5√3/2)* (√171/2)) = 210/(30√(3*171)) = 7√57/57.
sin SDС = √(1 – (7√57/57)2) = 2√(2*57)/57.
tg SDС = 2√(2*57)*57/(57*7*√57) = 2√2/7.
Точка с высотой, равной Н на грани BCS, отстоит в плане от линии пересечения с плоскостью основания на величину 2R. Найдём тангенс угла наклона грани BCS.
Найдём проекцию высоты этой грани из точки S на основание.
Сначала находим высоту SS1 точки S:
SS1 = SD*sin SDС = (√171/2) * (2√(2*57)/57) = √(3*57)/2) * (2√(2*57)/57) = √6.
Проекция CS на основание равна: CS1 = √(32 – (√6)2) = √(9 – 6) = √3.
Тогда проекция высоты грани BCS на основание равна половине CS1 или (√3/2) (катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы).
Тангенс угла наклона грани BCS равен: tg α = √6/(√3/2) = 2√2.
Записываем равенство высот на гранях: (CD + R)* tg SDС = 2R* tg α.
Подставим данные.
(5√3/2 + R)*( 2√2/7) = 2R*2√2. Приведём к общему знаменателю 7.
5√6 + 2R√2 = 28R√2,
26R√2 = 5√6,
R = 5√6/(26√2) = 5√3/26 ≈ 0,333087.
Прилагаемые рисунки даны:
- один в виде осевого сечения,
- второй в виде общего плана (это вид сверху),
- третий это деталь плана с цилиндром.
