Из вершины прямого угла а треугольника авс восстановлен - вопрос №94050 от oksanademyanov 26.05.2023 05:23

Question

Геометрия: Из вершины прямого угла а треугольника авс восстановлен перпендикуляр ад к плоскости треугольника. найдите косинус угла ф между векторами вс и вд, если угол авд равен а, а угол авс равен в.

oksanademyanov · Answer

Из прям. тр-в АВС и АВD выражаем необходимые стороны через сторону АВ:

AD = AB*tga; AC = AB*tgb; BD = AB/cosa; BC = AB/cosb

Из прям. тр-ка ADC выражаем DC по теореме Пифагора:

DC^2=AD^2+AC^2=AB^2(tg^2a+tg^2b).

Теперь применим теорему косинусов к тр-ку BDC:

DC^2=BD^2+BC^2-2BD*BC*cosf

Отсюда выражаем искомый косинус ф (в редакторе под латинской буквой f):

$cosf=\frac{\frac{1}{cos^2a}+\frac{1}{cos^2b}-(tg^2a+tg^2b)}{2}*cosacosb=$

$=\frac{cos^2a+cos^2b-sin^2acos^2b-sin^2bcos^2a}{2cosacosb}=\frac{2cos^2acos^2b}{2cosacosb}=\ cosacosb.$

ответ: cosф = cosa*cosb.