Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 14 см, а діагоналі основи відносяться як 7: 9. знайдіть площі діагональних перерізів цього паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 5 см.

Решать такие задачи довольно просто, нужно чуть-чуть подумать и представить.
Ради интереса- "разложу по полочкам", хотя решение в одну строчку.
Итак, треугольник характеризуется углами. Если остроугольный, то ВСЕ углы острые. Если прямоугольный, то ТОЛЬКО ОДИН прямой, остальные острые, если тупоугольный- то тоже ТОЛЬКО ОДИН тупой.
Еще мы знаем , что против бОльшей стороны лежит бОльший угол. Теперь этого нам достаточно.
Выделяем бОльшую сторону - это 6.  Если б был прямоугольный то по т. Пифагора... и т.д.
сравним суммы квадратов меньших сторон с квадратом большей
4²+5²=41
6²=36
41>36    значит больший угол острый. Остальные и подавно. Значит, треугольник остроугольный.
А если б  были равны - прямоуг.,  меньше - тупоугольный.

Признаки ромба: равенство сторон и неравенство диагоналей.

Перпендикулярность диагоналей и деление их точкой пересечения пополам вытекают как следствие из равенства сторон по свойству равнобедренных треугольников.

Точка А  Точка В  Точка С  

х    у            х   у              х    у

1    5            7   7             13   5

Длины сторон    

AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   40 6,32455532

BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   40 6,32455532

AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   144 12

Точка D  BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) =   16 4

х у СD = √((xD-xС)² + (yD-yС)²) =   40 6,32455532

7 3 AD = √((xD-xA)² + (yD-yA)²) =   40 6,32455532.

Как видим - все признаки совпали.

Доказано: чотирикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб.

Это же можно доказать и по векторам.

АВ = (7-1; 7-5) = (6; 2), |AB| = √(36 + 4) = √40.

BC = (13-7; 5-7) = (6; -2), |BC| = √(36 + 4) = √40.

CD = (7-13; 3-5) = (-6; -2), |CD| = √(36 + 4) = √40.

AD = (7-1; 3-5) = (6; -2), |AD| = √(36 + 4) = √40.

Диагонали:

BD = (7-7; 3-7) = (0; -4), |BD| = 4.

AC = (13-1; 5-5) = (12; 0), |AC| = 12.