Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник АВСК. Периметр четырехугольника это сумма всех его сторон.
Нужно доказать, что (АВ+ВС+СК+АК)/2 < АС+ВК < АВ+ВС+СК+АК
Учитывая неравенство треугольника
AC<AB+BC, BK<BC+CK
сложив которые
получим, что
АС+ВК<АВ+ВС+СК+АК
Пусть О - точка пересечения диагоналей(они пересекаются так как четырехугольник выпуклый)
Снова используя неравенства треугольника
АB<AO+BO, BC<BO+CO, CK<CO+KO, AK<AO+KO
сложив которые
AB+BC+CK+AK<2*(AO+OC+BO+KO)
или тто же самое что
AB+BC+CK+AK<2*(AC+BK)
или
(АВ+ВС+СК+АК)/2<АС+ВК
таким образом доказана вторая часть требуемого.
Доказано
Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник,основание которого АВ=2R. Где R радиус основания конуса.Стороны треугольника равны образующей конуса L. Шар проецируется на осевое сечение как окружность радиуса r с центром в точке О. Обозначим треугольник АВС, С-вершина. Проведём из О перпендикуляры ОК к АС и ОМ к ВС. Из равенства треугольников КОВ и МОВ видно, что ОВ-биссектриса угла СВА. Отсюда ВК=ОК/(tgA/2). Или R=r/(tgA/2). Где А-угол альфа. Далее СВ*cosА=ВК. Или L*cosA=r/(tgA/2). Отсюда величина образующей конуса L=r/cos A*(tgA/2). Боковую поверхность конуса находим по формуле S=пи*R*L=пи*(r/tgA/2)*r/cosA*(tgA/2)=пи*r квадрат/cos A*(tgA/2) квадрат.
