Дан равнобедренный прямоугольный треугольник abc с прямым углом a. из вершины a проведена высота ad. в треугольнике abd проведена биссектриса be. докажите, что ab + ae = bc.

 По условию AB=AC, так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то AD=CD=BC/2.    
 Из свойств биссектрисы  DE/AE = BC/(2AB)  или CD/AE = (BC+2AB)/(2AB) откуда AE = BC*AB/(BC+2AB)  
 AB+AE = AB+ (BC*AB)/(BC+2AB) = (2BC*AB+2AB^2)/(BC+2AB)
 так как 2AB^2=BC^2 ( теорема Пифагора) 
  AB+AE = (2*BC*AB+BC^2)/(BC+2AB) = BC(2AB+BC)/(2AB+BC) = BC 
  то есть   AB+AE=BC