24 см и 10 см.
Объяснение:
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
АВ+СD=АD+ВС
Проведем АС; ΔАВС - прямоугольный. Найдем АС из ΔАСD по теореме косинусов:
АС²=СD²+АD²-2*СD*АD*cos 60°=256+900-960*1/2=676;
АС=√676=26 см.
Если АВ+30=ВС+16, то ВС-АВ=14 см;
Пусть ВС=х см, тогда АВ=х-14 см.
По теореме Пифагора АС²=АВ²+ВС²; 676=(х-14)²+х²;
х²+х²-28х+196-676=0
2х²-28х-480=0
х²-14х-240=0
По теореме Виета
х=-10 (не подходит по условию) и х=24.
ВС=24 см; АВ=24-14=10 см.
Соединим точки A и D, D и C, С и B. Пусть AC∩BD=E.
∠ADB и ∠ACB вписанные и опирающиеся на хорду AB. Тогда они равны. Т.к. AB - диаметр, ∠ADB = ∠ACB = 90°.
Применив т. об отрезках пересекающихся хорд к хордам AC и DB, получим AE*EC=DE*EB.
Обозначим DE=a, EB=b, AE=c → с*EC=a*b → EC=a*b/c
AC ּ AE + BD ּ BE = (AE+EC)*AE+(BE+ED)*BE=c²+a*b+b²+a*b=c²+2ab+b²=(c²-a²)+(a+b)²=[по т. Пифагора для ΔADE (c²-a²)=AD². DB²=(DE+EB)²=(a+b)²]=AD²+DB²=[по т. Пифагора для ΔADB]=AB²
Т.к. AB - диаметр окружности, то значение AC ּ AE + BD ּ BE не зависит от положения точки E.
