20 ! из точки a провели касательные ab и ac к окружности с центром o (здесь b и c — точки касания). точка m — середина отрезка ao. докажите, что окружность, описанная около треугольника abm, касается прямой ac.

AD - диаметр окружности, описанной около △ABM.

∠ABD=90 (опирается на диаметр)
∠ABO=90 (угол между касательной и радиусом)
∠DBO - развернутый, B∈DO

∠AMD=90 (опирается на диаметр), DM - высота △ADO
В треугольнике ADO высота является медианой =>
△ADO - равнобедреный, углы при основании равны, ∠DAO=∠AOD

△AOB=△AOC (прямоугольные с равными катетами и общей гипотенузой)*
∠AOD=∠AOC

∠DAO=∠AOC => AD||OC (накрест лежащие углы равны)

ОС⊥AC (радиус перпендикулярен касательной) => AD⊥AC
AC - касательная к окружности c диаметром AD.
-------------------------------------------------------------------
*) Треугольники, образованные отрезками касательных из одной точки, радиусами и отрезком, соединяющим точку и центр окружности, равны как прямоугольные (радиус перпендикулярен касательной) с равными катетами (радиусы) и общей гипотенузой.