Втреугольнике abc известно, что ab=2, bc=4, ac=3, bn - биссектриса треугольника. прямая, проходящая через вершину a перпендикулярно bn, пересекает сторону bc в точке m. докажите, что биссектриса угла с делит пополам отрезок mn.

Пусть Е - точка пересечения MA и BN. Тогда треугольник MAB - равнобедренный (его биссектриса BE по условию является и его высотой), т.е. BM=AB=2, откуда CM=BC-BM=4-2=2. Т.к. BN - биссектриса треугольника ABC, то CN/NA=BC/AB=4/2=2, т.е. CN=2/3·AC=2/3·3=2. Итак, CM=CN=2, т.е. треугольник NCM - равнобедренный, и значит, его биссектриса CF является одновременно и медианой, что и требовалось.