Площадь прямоугольного треугольника равна 18 корней из 3 делить на 3 один из острых углов равен 60°. найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Не понятно, чему равна площадь. Пусть будет 18√3/3 (как написано в условии). То есть S=6√3.
Пусть катет, ПРИЛЕЖАЩИЙ к углу 60° будет равен Х.
Тогда гипотенуза треугольника равна 2Х (так как катет Х лежит ПРОТИВ угла 30° - в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°).
Искомый катет в этом случае равен по Пифагору √(4х²-х²)=х√3.
S=(1/2)*x*x√3 - площадь треугольника.
Если она равна 6√3 (дано), то (1/2)*x*x√3 =6√3, отсюда х²=12 и х=2√3.
Тогда искомый катет, лежащий напротив угла 60°, равен х√3=2√3*√3=6.
ответ: катет равен 6.