Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 дм, её боковая грань образует с плоскостью основания 30(градусов). найдите объём пирамиды.

Если диагональ d основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 дм, то сторона а основания равна:
а = d*(cos 45°) = 6*(√2/2) = 3√2 дм.
Площадь основания So = а² = (3√2)² = 18 дм².
Объём пирамиды V = (1/3)SoH.
Если двугранный угол при ребре основания равен 30 градусов, то высота Н пирамиды равна произведению половины стороны основания на тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания  :
H = (a/2)*tg 30° = (3√2/2)1/√3) = 3√2/(2√3) ≈  1,224745 дм.
Отсюда V = (1/3)*18*(3√2/2√3) =9√2/√3 ≈   7,348469 дм³.