На стороне [ac] треугольника авс выбрана точка в1, а на стороне [ab] – точка с1 так, что |ab1| : |b1c| = 3 : 4, |ac1| : |c1b| = 5 : 2. найдите, в каком отношении, считая от вершин треугольника, точка пересечения [bb1] и [cc1] делит каждый из этих отрезков.

Пусть точка пересечения отрезков ВВ1 и СС1 - точка К.
По теореме Менелая из треугольника АВВ1 и секущей СС1 имеем соотношение:
(АС1/С1В)*(ВК/КВ1)*(В1С/СА)=1, отсюда, подставляя известные данные, получаем: (5/2)*(ВК/КВ1)*(4/7)=1, а ВК/КВ1=7/10.
Точно так же из треугольника АСС1 и секущей ВВ1:
(АВ1/В1С)*(СК/КС1)*(С1В/ВА)=1 или (3/4)*(СК/КС1)*(2/7)=1 =>
СК/КС1=14/3.
ответ: ВК/КВ1=7/10 и СК/КС1=13.