Биссектриса угла a треугольника abc (∠c=90°) делит катет bc на отрезки длиной 6 см и 10 см. найдите радиус окружности, проходящей через точки a, c и точку пересечения данной биссектрисы с катетом bc

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Следовательно АР - диаметр.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон. То есть АС/СВ=6/10 или АС/СВ=3/5. Тогда  можно сказать, что АВ=3х, а АВ=5х.
По Пифагору  АВ²=АС²+СВ² или 25х²=9х²+16².
Отсюда 16х²=16², а х=4.
Итак, АС=3*4=12 см. По пифагору АР=√(144+36) = 6√5.
Это диаметр искомой описанной окружности.
ответ: радиус равен 3√5.