Впрямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе равна 6,5 см. периметр треугольника 30 см. найдите длину меньшего из катетов треугольника.

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Тогда гипотенуза равна 2•6,5 см = 13 см.
Сумма катетов равна P∆ - длина гипотенузы, т.е. сумма катетов a + b = 30 см - 13 см = 17 см
По теореме Пифагора:
a² + b² = 13²
a + b = 17

a² + b² = 169
b = 17 - a

a² + (17 - a)² = 169
b = 17 - a

a² + 289 - 34a + a² = 169
b = 17 - a

2a² - 34a + 120 = 0
b = 17 - a

a² - 17a + 60 = 0
b = 17 - a

По обратной теореме Виета:
a1 + a2 = 17
a1•a2 = 60
a1 = 5
a2 = 12

Тогда ментшиц катет равен 5 см (т.к. катета взяты случайным образом)

ответ: 5 см.