Угол c треугольника abc прямой ad перпендикуляр к плоскости треугольника abc. докажите, что треугольник bcd - прямоугольный авсd квадрат, диагонали которого пересекаются в точке е. ah - перпендикуляр к плоскости квадрата. докажите, что прямые he и bd перпендикулярны. из центра о квадрата abcd со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр ом длиной 12 см. найдите площадь треугольника аbm.

1. СВ перпендикулярен пересечению АС двух перпендикулярных плоскостей  ACD и ACB , значит любой отрезок в плоскости ACD является перпендикулярным CB (как принадлежащий плоскости, к которой СВ является перпендикуляром). То есть угол между СВ и любой прямой плоскости ACD является прямым, в том числе и угол DCB. Отсюда следует, что треугольник DCB - прямоугольный.
2. AH как перпендикуляр к плоскости АВСD перпендикулярен любой прямой на этой плоскости
3. Сначала найдём длину гипотенузы АС прямоугольного треугольника АВС с катетами 18 см. АС=√(18²+18²)=25,4558441...
Отрезок АО является катетом прямоугольного треугольника АМО, он равен половине АС, то есть равен 25,4558441... : 2=12,7279220
Найдём гипотенузу АМ прямоугольного треугольника АОМ: АМ=√(12²+12,7279220²)=√(144+162)=17,492855
Но АМ является в свою очередь боковой стороной равнобедренного треугольника АВМ, основание которого равно 18 см. Таким образом мы можем вычислить площадь АВМ. Опустив высоту h из точки М на середину АВ равнобедренного треугольника АВМ, мы получим 2 прямоугольных треугольника, в которых данная высота будет катетом.
h AMB=√((18/2)²+ 17,492855²)=√(81+306)=√387=19,67231...
S ABM=(18×19,67231):2≈177 см²
Причём в данной задаче я работал калькулятором, оперируя полными десятичными дробями без сокращений. Если принять высоту за округлённую до целого числа 20, то площадь получается 180 см², если округлить высоту до 19, получается  171 см². Но более точный результат - 177 см²