Из вершин равностороннего треугольника abc проведен перпендикуляр ad к плоскости abc точка dв пространстве . найти ad , если ab= 8 см и расстояние от точки d до стороны bc=18 см?

Так как в трапеции угол А =60, угол ABD=90, то угол ADB=30. 
Так как BD биссектриса угла D, то угол D=60. Угол А равен углу D, значит трапеция равнобедренная, т.е. AB=CD. 
Сумма углов трапеции 360, значит угол B=360-(60+60)/2=120. 
Угол CBD=угол B-угол ABD=120-90=30. 
Угол BDC тоже равен 30 (т.к. BD биссектриса), значит треугольник BCD равнобедренный, BC=CD=AB. 
Если провести высоту BH, то в треугольнике ABH угол А=60, AHB=90, следовательно угол ABH=30. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 лежит катет, равный половине гипотенузы, AH=1/2 AB. Значит AD=BC+2AH=BC+AB=2AB. 
Периметр=AB+BC+CD+AD=AB+AB+AB+2AB=5AB. 
AB=P/5, AB=20/5=4. (P- периметр) 
AD=2AB=2*4=8

Указание. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе.

Решение. С центром в произвольной точке построим окружность, радиус которой равен данной медиане. Проведём произвольный диаметр AB‍ этой окружности. С центром в точке A‍построим окружность, радиус которой равен данному катету. Пусть C —‍ одна из точек пересечения построенных окружностей. Тогда медиана CM‍ (радиус первой окружности) треугольника ABC‍ равна половине стороны AB‍ (диаметр первой окружности), следовательно, ABC —‍ искомый прямоугольный треугольник.