Решите : в треугольнике abc ab=12, bc=5, ca=10. точка д лежит на прямой вc так, что bd; dc = 4: 9 .окружности впасанные в каждый из треугольников adc и adb играются стороны ad в точках е и f . найдите длину отрезка ef

Так как по условию xm+yn=5n, тоxm =(5-y)n
если x не равно 0, то разделив левую и правую части уравнения на x, получим
m =((5-y)/x) n, где ((5-y)/x) какое-то число.

По условию коллинеарности:Два вектора a и b коллинеарны, если существует число не равное нулю n такое, что a = n · b
Следовательно, если a и b не коллинеарны то такого числа не существует.
А в нашем примере такое число есть (при x не равном 0).
Следовательно если x не равно 0, то векторы коллинеарны.
А так как по условию они не коллинеарны, то x = 0. Тогда и y = 0.
ответ: x = 0 и y = 0

  Решение сводится к доказательству равенства АМ и  СМ, т.к. сторона ВМ для ∆ АВМ и ∆ СВМ общая.

АВ=СВ (дано) По свойству углов равнобедренного треугольника ∠ВАС=∠ВСА. Примем их равными α.  В ∆ ВМС из периметра ВМ+СМ=35-15=20 см

  В ∆ АВМ отрезок MN перпендикулярен АВ в её середине. Следовательно, MN- высота и медиана ∆ АВМ, из чего следует ВМ=АМ.

  Отрезок МN делит ∆ АВМ на два равных прямоугольных треугольника.

∠ВМА=180°-∠А-∠АВМ=180°-2α.

Угол ВМА - внешний для ∆ ВМС ⇒ посвойству внешнего угла равен двух других, не смежных с ним. ∠В+∠С=180°-2α. В то же время ∠ВМС, смежный углу ВМА, равен 180°-ВМА=180°-(180°-2α), откуда ∠В+∠С=2α.  Т.к. ∠С=α, то ∠СВМ=α. Следовательно, ∆ ВСМ равнобедренный,  СМ=ВМ=АМ. ⇒ АС=АМ+СМ=ВМ+СМ=20 см