Знайти довжини сторін рівносторонніх трикутників abc і abd, якщо їх площини перпендикулярні і cd дорівнює a.

1) Находим стороны основания:
ВС = АВ*tg60° = 2√3 см.
АС = АВ/cos60° = 2/(1/2) = 4 см.
S(ABC) = (1/2)*AB*BC = (1/2)*2*2√3 = 2√3 см².

2) Угол α наклона плоскости МВС к основанию равен:
α = arc tg (MA/AB) = arc tg (2√3/2) = arc tg √3 = 60°.
S(BMC) = S(ABC)/cos α = 2√3/(√3/2) = 4 см².

3) Этот угол определён в п. 2 и равен 60°.

4) Угол между прямой ВС и плоскостью ADC равен 90°, так как по условию угол АВС - прямой, а ребро AD перпендикулярно основанию.
Поэтому грань АДВ перпендикулярна основанию, а сторона ВС перпендикулярна АДВ.

5) Ребро ВС как линия пересечения ВМС и АВС перпендикулярно АДВ, поэтому плоскость МВС перпендикулярна плоскости ADB.

А - боковая сторона равнобедренного треугольника, b - основание треугольника, h - высота (и медиана), проведенная к основанию

b : a = 3 : 2,5
Свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних
2,5b = 3a
b = 3a/2,5
b= 1,2a
b/2 = 0,6a  

По теореме Пифагора
h² + (b/2)² = a²
8² + (0,6a)² = a²
64 + 0,36a² = a²
a² - 0,36a² = 64
0,64a² = 64
a² = 64/0,64
a² = 100
a = 10 (см)
b= 1,2 * 10 = 12 (см)

         b          2a -b
r =  √()
         2          2a+b
 

где r - радиус вписанной окружности, а - боковая сторона равнобедренного треугольника, b - основание треугольника

        12            2 * 10 - 12
r = * √( ) = 6 * √(8 / 32) = 6 * √(1/4) = 6 * 1/2 = 3 (cм)
        2              2 * 10 + 12