За катетом ас = 4 см і гіпотенузою ав = 7 см, знайдіть другий катет трикутника авс (кут с - прямий) та гострі кути.

Не было под рукой листочка А4, так что нарисовал в paint. Надеюсь, вам будет понятен чертеж.

Итак:

ABC- данный треугольник.(я взял остроугольный, чтобы было удобнее работать с ним)

AK,BG,CF-биссектрисы.(синие)

Они действительно пересеклись в одной точке X.

AM,BN,CL-медианы.(красные)

Они действительно пересеклись в одной точке Y.

AH1,BH2,CH3-высоты.(зелёные)

Они  действительно пересеклись в одной точке Z.

Точки Х,У,Z можно соединить, получим окружность.

Вывод:

В неравнобедренном треугольнике точки пресечения биссектрис, медиан и высот лежат на одной окружности.

Ну, собственно, и все.

P.S. А насчет вывода я немного не уверен,  просто у меня по счастливой случайности, такой чертеж вышел, а факт этот я не доказывал. Возможно, это и не будет окружностью вовсе, а просто треугольником. Но это решать не мне, а модераторам.

Точка равноудалённая от катетов образует внутри прямоугольного треугольника квадрат со стороной а, вершины которого - вершина прямого угла, точка на гипотенузе и две точки на катетах, от которых равноудалена заданная. Внутри прямоугольного образовались квадрат и два подобные между собой прямоугольных треугольника, которые подобны исходному треугольнику . пусть Один из катетов прямоугольного треугольника(1) - х и гипотенузой - 40 см, тогда соответствующий катет прямоугольного треугольника(2) - а см и гипотенузой - 30 см. Составим систему уравнений:
Тогда один катет исходного прямоугольного треугольника - х+а=56 см. Второй катет по теореме Пифагора: = 1764, второй катет равен