Внутри развернутого угла аов проведены лучи ос и оd так что угол cod равен 30 градусов и угол bod в 4 раза больше угла aoc.чему может быть равна градусная мера угла aoc?

Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ - (в условии не указано что это)
          ВД₁ - диагональ
          АВ=4, ВС= 5√3, АА₁=3
Найти: ∠А₁ВД₁ -?

1) Пусть АВСДА₁В₁С₁Д₁ - прямоугольный параллелепипед, тогда вычислим по формуле ВД₁²=АВ²+ВС²+АА₁²=4²+(5√3)²+3²=100, ВД₁=√100=10
2) Так как АВСДА₁В₁С₁Д₁ прямоугольный параллелепипед, то в Δ А₁В  ∠А=90°, тогда находим по теореме Пифагора  А₁В²=АА₁²+АВ²=25, А₁В=√25=5
а также ΔА₁Д₁В - прямоугольный,то cos острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла, к гипотенузе; 
находим cos ∠А₁ВД₁=А₁В/Д₁В=5/10=1/2=60°

ответ: ∠А₁ВД₁=60°

В правильной усеченной  четырехугольной  пирамиде диагонали оснований равны 10 см и  6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти высоту усеченной   пирамиды.

Объяснение:

1) АВСDA₁B₁C₁D₁- усеченная пирамида , Точки О и О₁ -точки пересечения диагоналей оснований  Т.к пирамида правильная , то основания кавдраты.

АВСD- нижнее основание , по т. Пифагора АВ=√(10²:2)=5√2 (см).

A₁B₁C₁D₁-верхнее  основание , по т. Пифагора A₁B₁=√(6²:2)=3√2 (см).

2) Проведем через точки О и О₁  отрезки  МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам квадратов.Тк О₁Н₁ ⊥ВС, то SH⊥ВС  по т. о трех перпендикулярах . Поэтому линейным углом между плоскостью боковой грани и плоскостью основания будет ∠НН₁М=60°.

3)  Рассмотрим сечение , проходящее через МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам основаниям. В сечении получилась равнобедренная трапеция ММ₁Н₁Н.

Проведем высоты М₁К и Н₁Р  в трапеции . Тогда КР=М₁Н₁ =3√2 см , а МК=РН=( 5√2-3√2):2=√2 (см).

ΔРНН₁ -прямоугольный , tg60°=PН₁ /PH , √3=PН₁ /√2 , PН₁ =√6 см.

Поэтому высота усеченной пирамиды √6 см.