Как из формулы r=s/p для произвольного треугольника, вывести формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

А, в - катеты, с - гипотенуза.
S=а·в/2.
р=(а+в+с)/2, значит
r=S/p=а·в/(а+в+с) - это ответ.

P.S. Есть еще формула r=(а+в-с)2, но она выводится по-другому, не из формулы r=S/p.

Хорошо. Есть старый рисунок, используем его.
А и B - катеты, С -  гипотенуза. На рисунке видно, что гипотенуза С=а+х.
Касательные к окружности из одной точки равны, значит катеты: А=a+r и В=х+r, сумма катетов: А+В=2r+a+x=2r+C ⇒ r=(A+B-C)/2.