Вравнобедренном треугольнике авс(ав=вс) на боковой стороне ав ,как на диаметре,построена окружность ,которая пересекает стороны ас и вс в точках м и n .найти длину боковой стороны, если вn=7см,мс=3см.

АВ=ВС, АВ - диаметр окружности. Окружность пересекает стороны АС и ВС в точках М и Н соответственно. ВН=7 см, МС=3 см.
Построим отрезки ВМ и АН, которые пересекаются в точке К.
∠ВМА=∠ВНА=90° так как они вписанные в окружность и опираются на дугу в 180°. 
В равнобедренном тр-ке АВС ВМ⊥АС, значит АМ=МС ⇒ АС=2МС=6 см.
Тр-ки АНС и ВМС подобны т.к. ∠С - общий и оба прямоугольные.
Пусть НС=х, ВС=ВН+НС=7+х.
ВС/МС=АС/НС,
(7+х)/3=6/х,
7х+х²=18,
х²+7х-18=0,
х>0, значит х≠-9, х=2.
НС=2 см,
АВ=ВС=7+2=9 см - это ответ.