СD=x
AD=y
Поскольку четырёхугольник описан вокруг окружности,то суммы его противолежащих сторон равны
х+9 = у+10
x-y =1
Соединим вершины с центром окружности. Будет четыре треугольника.
Площадь каждого-произведение половины стороны на радиус окружности.в точке касания радиус перпендикулярен стороне и выполняет роль высоты в этом треугольнике
Сумма площадей всех треугольников = площади четырёхугольника
(AB r+BC r+CD r+AD r) / 2 = 90
AB + BC + CD + AD = 36
x + y = 17 и из самого начала уравнение
x-y =1
2x = 18 =>CD = 9
2y = 16 =>AD = 8
1)По свойству касательных, проведённых из одной точки, AB=AC. Значит, ΔBAC - равнобедренный. Опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,
<BAD = <CAD. Из этого непосредственно вытекает, что AD - биссектриса, проведённая к основанию, а значит и медиана. BD = CD.
2)Рассмотрю ΔBDO, <D = 90°, так как AD ещё и высота по известному факту.
Пусть BD = x, тогда по теореме Пифагора R = √9+x². Осталось только найти x.
3)Рассмотрю ΔOBA, <B = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
BD - высота ΔOBA - по доказанному выше. А высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее геометрическое между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Значит,
BD = √3*5+1/3 = √16 = 4. BD = x = 4
4)Теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:
BO = √9+x² = √9+16 = √25 = 5
Задача решена )
