)с объяснениями: ) правильные треугольники авс и аdс расположены так, что вершина в треугольника авс проектируется в центр треугольника аdс. найдите косинус угла между плоскостями авс и аdс.

В обоих треугольниках опустим высоты ВК и ДК на их общее основание АС. Проекцией высоты ВК на плоскость АСД будет прямая ОК, где точка О - центр тр-ка АСД.
Точка О - это место пересечения высот, медиан и биссектрис тр-ка АСД, значит ОК - радиус вписанной в него окружности. 
Радиус вписанной окружности для правильного тр-ка: r=ОК=а√3/6.
В тр-ке АВС ВК - высота, которая в правильном тр-ке равна: h=ВК=а√3/2.
В тр-ке ВОК cos(ВКО)=ОК/ВК=2а√3/(6а√3)=1/3 - это ответ.