<A≈65°24′
Объяснение:
как показано на рисунке пусть EF=x, a BC=2x. Рассмотрим ∆АВС и ∆AEF. У них общий угол А, который можно найти используя теорему косинусов:
из ∆AEF:
из ∆АВС:
так как угол А общий и его значение для обоих треугольников равно составим уравнение используя оба варианта:
перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой крест накрест и получим:
6(45–4х²)=36(10–х²)
270–24х²=360–36х²
–24х²+36х²=360–270
12х²=90
х²=90÷12
х²=7,5
х=√7,5
Итак: EF=√7,5см. Теперь подставим значение х в первое уравнение:
2,5÷6≈0,4167; cos04167≈65°24′
Рассмотрим отрезки, на которые делится сторона CD. Эту сторону можно представить как сумму CM + MD и как сумму CE + ED.
MD = 7/10CD (CM/MD = 3/7 ⇒ MD/(CM + MD) = 7/(3 + 7) = 7/10)
ED = 1/2CD (так как средняя линия делит сторону CD пополам)
ME = 7/10CD - 1/2CD = 7/10CD - 5/10CD = 2/10 CD
Так как мы выразили и отрезок ME, и отрезок MD через сторону CD, можно найти отношение этих отрезков друг к другу. ME/MD = 2/10 : 7/10 = 2 : 7.
Рассмотрим ΔMOE и ΔMAD. У них есть общий угол (∠AMD), а также равные углы ∠MEO и ∠MDA (соответственные при FE ║ AD – они параллельны, так как средняя линия трапеции всегда параллельна её основаниям), равные углы ∠MOE и ∠MAD (также соответственные при FE ║ AD). Таким образом, ΔMOE ~ ΔMAD по трём углам.
В подобных треугольниках соответствующие стороны относятся друг к другу в одинаковых пропорциях. Мы знаем это отношение – 2 : 7, так относятся друг к другу стороны ME малого треугольника и MD большого. Зная сторону AD, мы можем найти и сторону OE.
OE/AD = 2/7
OE/70 = 2/7
OE = 20
Средняя линия трапеции всегда равна половине суммы её оснований.
FE = (BC + AD) : 2 = (20 + 70) : 2 = 90 : 2 = 45.
Зная длину FE и её части отрезка OE, мы можем найти отрезок FO.
FO = FE - OE = 45 - 20 = 25.
ответ: 20 и 25 сантиметров.
