Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 и образовывает с плоскостью основания угол 60градусов. найдите высоту пирамиды и площадь поверхности.

Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD,проведенной к гипотенузе,на два треугольника-BCD и ACD. Радиусы окружностей,вписанных в эти треугольники,равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности,вписанной в треугольник ABC.
Высота делит прямоугольный треугольник на 2 подобных прямоугольных треугольника, из этого следует, что их соответствующие стороны пропорциональны так же как и радиусы вписанных окружностей. Коэфициент пропорциональности равен 4/3, тогда СD/АD=4/3, СD=4х, а АD=3х,  АС=5х. ВD=СD^2/AD=16x^2/3x=16x/3, АВ=16x/3+3х=25х/3
Из подобия треугольников АВС и АСD имеем АВ/АС=R/3; (25х/3)/5х=R/3; R=25х/5х=5см.

Нарисуй чертеж
ВМ=МС=а
AN=ND=b  (это обозничили мы так)
треугольники APN и MPB подобны с коэффициентом  b/a,и высоты тоже

треуг. NQD и CQM подобны с тем же коэфф  b/a  и высоты тоже.
но если у треуг. APN  и  NQD  AN=ND, то и высоты равны. Т.е. точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от AD
что и требовалось доказать.

если по поводу высот , что они равны , непонятка, то это следует из того, что отношения высот малого и большого треуг. равно одному и тому же коэффициенту, а сумма этих высот постоянна (высота трапеции)