две правильные четырехугольные пирамиды, все ребра которых равны √6(√2+1), соединены основаниями так, что получается правильный восьмигранник. в этот восьмигранник вписан куб, все вершины которого находятся на ребрах восьмигранника. найдите площадь грани куба.

Октаэдр в задаче можно представить себе следующим образом.
Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра.
К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0)
то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно.
Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c.
Вот тут самая важная часть решения.
"С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба.
Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней.
В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра).
То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c)
"В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2".
Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1);
Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;

Для квадрата (это основание)) известно:
диагональ = сторона*√2
(я обозначила диагональ основания пирамиды d)
если рассмотреть диагональное сечение пирамиды
(равнобедренный треугольник), то в него будет вписана половина
диагонального сечения куба --прямоугольник со сторонами
(а/2) и (а√2 / 2), где а --искомая сторона куба)))
из этого треугольника и можно найти сторону (а)
S = a²