Вромбе abcd ав = 10 см, меньшая диагональ ас - вопрос №4607511012 от лимпоьип 20.12.2021 23:22

Question

Геометрия: Вромбе abcd ав = 10 см, меньшая диагональ ас = 12 см. найдите площадь ромба.

лимпоьип · Answer

Дано:

ABCD - ромб

AB=10см

AC=12см

Найти: S(ABCD)

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2} AC\cdot BD$

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Если точку пересечения диагоналей обозначить как О, то получим:

BD=2BO

Подставим соотношение для BD в формулу площади:

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2} AC\cdot 2BO=AC\cdot BO$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOB:

AB^2=AO^2+BO^2

Зная, что $AO=\dfrac{1}{2} AC$ , выразим BO:

$BO^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2} AC\right)^2\\BO=\sqrt{AB^2-\dfrac{1}{4} AC^2}$

Подставим соотношение для BO в формулу площади:

$S_{ABCD}=AC\cdot BO=AC\cdot\sqrt{AB^2-\dfrac{1}{4} AC^2}$

Подставляем значения:

$S_{ABCD}=12\cdot\sqrt{10^2-\dfrac{1}{4} \cdot12^2}=12\cdot8=96\ (\mathrm{sm^2})$

ответ: 96см²