Окружность проходит через вершины a и c треугольника abc и пересекает стороны ab и bc в точках k и p соответственно. отрезки ap и kc пересекаются в точке f . найдите радиус окружности, если угол abc равен 7° , угол akc меньше угла afc на 23° , ac =12.

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и BC в точках K и P соответственно. 
Отрезки AP и KC пересекаются в точке F . Найдите радиус окружности, если угол ABC равен 7°, угол AKC меньше угла AFC на 23°, AC =12.
Решение.   
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. (теорема)
∠ АВС= (γ-β):2⇒   2∠ АВС= γ-β 
γ-β=14º
γ=14º+β  Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. ( теорема)
∠AFC= (γ+β):2 
∠ АКС - вписанный и равен половине величины дуги  γ, на которую опирается.
∠AKC=γ:2 
∠AFC- ∠AKC=23º  
(γ+β):2 - γ:2=23º  
β/2=23º  ⇒  β=2*23º=46º 
Так как   γ=14º+β то 
γ=14º+46º=60º
∠AKC=60º:2=30º
Треугольник АКС -вписанный. По т.синусов
 2R=AC:sin∠ АКС
2R=12:0,5
2R≈24
R≈12

Из  ΔAPC :
AC/sin∠APC=2R  (a/sin∠A=b/sin∠B =c/sin∠C =2R _теорема синусов).
R =6/sin∠APC. Нужно найти ∠APC.
∠APC =∠B +∠BAP (свойство внешнего  угла  ΔBAP).
∠APC =∠B +∠KAF =7° + (∠AFC -∠AKF) =7° + (∠AFC -∠AKC)=7°+23°=30°.
* * * ∠BAP≡∠KAF ; ∠AKF≡∠AKC * * *

следовательно:  R =6/sin∠APC =6/sin30° =6/(1/2) =12 .

ответ: 12.

* * * * * * *   ∠AFC =∠KAF+∠AKF (свойство внешнего  угла  ΔKAF)⇒
∠KAF ∠AFC -∠AKF  * * * * * * *