3.дана правильная четырёхугольная пирамида sabcd. точка е лежит на ребре sb и se: eb как 2: 1; точка о лежит на отрезке bd так что bo: od как 2: 1. к - точка пересечения медиан dsc.доказать что ek параллельна плоскости асв​

Обозначим стороны как . И пусть  тогда большая высота опускается на меньшую сторону , меньшая на большую . Тогда площадь с одной стороны равна , с другой стороны  .
Вспомним что угол между высотами проведенные с тупого угла равен острому углу параллелограмма.Учитывая это обозначим угол между высотами как  тогда острый угол равен  следовательно тупой  . Из прямоугольных треугольников которые образовались после проведения высота соответственно на стороны  равны   тогда площадь запишится как      
 
но и она же равна  приравняем 
 -3 нам не подходит потому что синус в  четверти положителен  
Диагональ выразим по теореме косинусов   

с первого равенство выразим синус через косинус затем подставим и решим уравнение перейдем в общем к такому 
решая это уравнение получим 

оно примерно равна  26  

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания, то есть боковые грани пирамиды равны и наклонены относительно основания под одним углом.
Сечение amb, площадь которого надо найти - равнобедренный треугольник с основанием ab и боковыми сторонами am и bm. Основание нам дано - это сторона основания пирамиды, равная 8. Боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Значит углы при вершинах граней равны 36°, равны и все углы при основании граней (180°-36°):2 = 72°.
В треугольнике asm  <asm=36°(дано), <sam=36°(как половина угла sac=72°) и <amb=(180°-72°)=108°. Углы ams и amc смежные. Тогда <amc=180°-108°=72° и значит треугольник amc равнобедренный и am=ac=8. Но am=bm, а ac=ab. Значит сечение - правильный треугольник и его площадь равна:
Sabm = (√3/4)*a², где а - сторона треугольника.
Итак,  Sabm = (√3/4)*64 = 16√3.