АС1/С1В=1/1, ВА1/А1С=3/7, АВ1/В1С=1/3, S A1B1C1=S ABC - S AC1B1 - S C1BA1 - S A1CB1, обе части уравнения делим на S ABC
S A1B1C1 / S ABC = 1 - (S AC1B1/S ABC) - (S C1BA1/ S ABC) - (S A1CB1/S ABC)
S ABC=1/2*AB*AC*sinA, S AB1C1=1/2*AC1*AB1*sinA, AB=AC1+C1B=1+1=2, AC=AB1+B1C=1+3=4, S AB1C1/S ABC=(AC1*AB1)/(AB*AC)=(1*1)/(2*4)=1/8,
S ABC=1/2*AB*BC*sinB, S C1BA1=1/2*C1B*BA1*sinB, BC=BA1+A1C=3+7=10,
S C1BA1/S ABC=(C1B*BA1)/(AB*BC)=(1*3)/(2*10)=3/20,
S ABC=1/2*AC*BC*sinC, S A1CB1=1/2*A1C*B1C*sinC, S A1CB/S ABC=(A1C*B1C) / (AC*BC)=(7*3)/(4*10)=21/40,
S A1B1C1/S ABC=1-1/8-3/20-21/40=8/40=1/5, или S ABC/S A1B1C1=5/1
Угол между прямой и плоскостью - угол между наклонной и её проекцией на плоскость.
Чтобы найти проекцию наклонной B1C на плоскость (AA1C) спроецируем точку B1, то есть проведем перпендикуляр B1H к плоскости (AA1C).
Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости.
Любая прямая в плоскости (A1B1C1) перпендикулярна СС1 (боковые ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям). Поэтому достаточно опустить перпендикуляр B1H на A1С1.
B1H⊥A1С1, B1H⊥CC1 => B1H⊥(AA1C)
HC - проекция наклонной B1C на плоскость (AA1C)
B1CH - искомый угол
△B1CH - прямоугольный (B1H⊥HC)
7) B1H =√3/2 (высота в равностороннем △A1B1C1)
B1C =√3 (△B1CB, теорема Пифагора)
sin(B1CH) =B1H/B1C =1/2
B1CH=30
8) HC1 =4 (B1H высота и медиана)
HC =5 (△HCC1 египетский)
cos(B1CH) =HC/B1C =5/10 =1/2
B1CH=60
