Докажите, что диаметр - это наибольшая хорда окружности

S = 544 ед²

Объяснение:

Треугольник АВС. Медианы АР и ВН, пересекаясь в точке О, образуют прямоугольные треугольники АОН и ВОР.

В треугольнике АОН по Пифагору: АН² = АО² + ОН², а в треугольнике ВОВ - ВР² = ВО² + ОР².

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. =>

АО =(2/3)*АР; ОР = (1/3)*АР; ОН = (1/3)*ВН.

Тогда  по Пифагору: АН² = (2*АР/3)² + (ВН/3)² =>

9*АН² = 4*АР² + ВН²  (1) . Аналогично

9*ВР² =  АР² + 4*ВН²  (2) .

АН = АС/2 =22 ед. ВР = ВС/2 =14 ед. ( Так как АР и ВН - медианы).

Решая систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными, получаем:

ВН² = 180; АР² = 1044. Подставляем эти значения в уравнение: АВ² = ВО² + АО² (по Пифагору в треугольнике АВО ), получим:

АВ²  = (4/9)*(ВН² + АР²) = 4*(180+1044)/9 = 544 ед².

Это и есть площадь квадрата со стороной АВ.

 Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. То есть АВ*АК=АС². Или АВ*(АВ-2АС)=АС². Подставляем известные значения: 12(12-2АС)=АС²  или АС²+24*АС-144.
АС= -12+12√2 = 12(√2-1).
2.Соединим середину хорды АВ (точку D) с серединой хорды АС (точка Е).
Отрезок DF перпендикулярен АС (расстояние от середины хорды АВ до хорды АС), тогда AF=3(так как DA=5см, а DF=4см), EF = 3см (6-3=3) а DЕ = 5см. DЕ - средняя линия треугольника АВС, поэтому ВС=10см.
Тогда радиус описанной окружности находим по формуле
R=abc/[4√p(p-a)(p-b)(p-c).  
R = 10*12*10/[4√(16*6*6*4)=300/48 = 6,25.
3.Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.
Имеем: АС*АВ = АК*АD или 20*DK = 25*(25-DK).
20*DK=625 -25*DK; 45DK=625.  DK = 13и8/9.