Известно, что в треугольнике ABC сторона AB=7, AC=4. Найдите отношение, в котором биссектриса угла A (AD) делит медиану, проведённую из вершины B (BM). В ответе укажите отношение большего отрезка к меньшему (BK / KM ).
Дано: AB =7 ; AC =4 ; ∠CAD = ∠BAD (D ∈ [CB ] ) AM= AC ;
( BK / KM ) - ?
K = [ AD ] ∩ [ BM ] * * * K точка пересечения биссектрисы AD и медианы BM . * * * Из ∆ ABM : BK / KM = AB / AM (свойство биссектрисы внутреннего угла ∆ ) ⇔ BK / KM = AB / (AC/2 ) ⇔ BK / KM = 2AB / AC ⇔ BK / KM = =2*7/4 =3,5 .
Вписанный угол равен половине соответственного ему центрального угла, опирающегося на ту же дугу, значит ∠ВОМ=2∠ВАМ. Треугольник ВОМ равнобедренный, ВО=МО, значит ∠ОВМ=(180-∠ВОМ)/2=(180-2∠ВАМ)/2=90°-∠ВАМ.
Касательная и радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярны. ОВ⊥ВК, значит ∠MBK=90-∠ОВМ=90-(90-∠ВАМ)=∠ВАМ. Доказано.
PS Угол между касательной и секущей, проведённой через точку касания, является вырожденным случаем вписанного угла, значит угол MBK равен любому вписанному углу, опирающемуся на дугу ВМ. Это нужно запомнить и использовать дальше в решениях задач без обязательного доказательства.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
