Сферу с радиусом 20 см рассекают две перпендикулярные между собой плоскости, которые находятся на расстоянии 12 и 9 см от центра сферы. найдите длину общей хорды двух сечений

Сделаем рисунок.
Линия пересечения плоскости и сферы - всегда окружность. 
Пусть диаметр одной окружности будет АВ,  а ее центр - М. 
Диаметр второй- СД, а ее центр - К
Центр сферы О удален от первой плоскости на 12 см.
ОМ=12. 
ОК=9 см
По т. Пифагора из тр-ка АМО найдем радиус окружности, по которой пересекает сферу первая плоскость:
АМ=√(АО²-МО²)=√(400-144)=16 см
Так же найдем радиус второй окружности:
КД=√(ОД²-ОК²)=√(400-81)=√319 см
Общая хорда сечений - линия ЕР пересечения окружностей. 
Хорда пересекает диаметры окружностей в общей точке Т. 
Диаметры окружностей перпендикулярны, следовательно, каждый из них перпендикулярен  хорде и делит ее пополам.
ЕТ=ТР=х.
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из пересекающихся хорд, равны:
АТ*ВТ=ЕТ*ТР
МТ=ОК=9 см 
ВТ=ВМ-МТ=16-9=7 
АТ=АМ+МТ=16+9=25 
25*7=х²
х=√175=5√7
ЕР=2*5√7=10√7
Точно так же можно вычислить длину хорды через произведение отрезков диаметра СД второй окружности. 
СТ=( √319 -12)
ТД=(√319+12)
СТ*ТД=( √319 -12)*( √319 -12)=319-144=175 
Хорда общая, и произведения отрезков диаметров обеих окружностей  равны  произведению половин хорды. 
Длина общей хорды равна  10√7 см