ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)
Объяснение: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ АН - биссектриса угла ВАD, О - центр окружности. ОК и ОЕ - радиусы, проведенные к точкам касания. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. АК=АЕ; DE=DH; FK=FH
Примем АК=АЕ равным х. Тогда ЕD=DH=9-х.
а) Рассмотрим рисунок приложения. Угол AFD=∠CDF (накрестлежащие при FA||CD и секущей FD) Но ∠CDF=∠ADF (DF- биссектриса ) ⇒ ∠АFD=∠FDA. ⇒ ∆ FAD – равнобедренный и AF=AD=9.
АН - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ АН – его высота и медиана ( свойство). ⇒ FН=НD=9-х
Аналогично в ∆ КАЕ биссектриса АМ равнобедренного ∆ АКЕ - медиана и высота. ⇒ КМ=МК=4:2=2.
Прямоугольные ⊿ МАЕ и ⊿ НAD подобны по общему острому углу при А. Из подобия следует отношение DH:ЕМ=DA:ЕА.
т.е. (9-х):2=9:х., откуда получаем х²-9х+18=0. По т.Виета х₁+х₂=-(-9)=9; х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6
По условию АЕ< AD, поэтому АЕ=3, ED=6
Из ⊿ АНD по т.Пифагора АН=√(AD*-DH*)=√(81-36)=3√5
⊿ АОЕ и ⊿ АDH подобны по общему углу при вершине А, из чего следует ОЕ:DH=AE:AH ⇒ r=AE•DH:AH =3•6:3√5.=6/√5.
б) При условии, что окружность касается стороны BC параллелограмма, диаметр РЕ окружности, вписанной в угол ВАD, будет высотой параллелограмма. S=h•a=2r•AD=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)
ответ: у=0,6х+1.
Объяснение:
Уравнения диагоналей:
AC (х+2)/(7+2)=(у+2)/(7+2), после преобразований получается у=х или х-у=0.
BD (х+3)/(3+3)=(у-1)/(1-1). Вот что делает формальный подход. После преобразований получается: (х+3)/6=(у-1)/0. Ужас! деление на ноль! А всего лишь, нужно было внимательнее посмотреть и осмыслить значения. У точек B и D одинаковые ординаты. А это значит, что BD - горизонтальная линия, и ее уравнение у=1.
Теперь нужно выяснить, какие же линии - основания, а какие - боковые стороны.
Конечно, если мы начертим трапецию, то сразу видно, что AD параллельно ВС, значит что ADи ВС - основания. Но ведь нам нужно обойтись без чертежа. Значит придется составить уравнения АВ, ВС, CD и АD, и выбрать из них две с одинаковыми коэффициентами.
Итак: (на всякий случай пока отправлю то, что есть, так как с минуты на минуту может прийти жена, и выгонит меня из-за компа).
Продолжаю.
Уравнения сторон:
АВ (х+2)/(-3+2)=(у+2)/(1+2), 3х+6=-у-2, у=-3х-8;
ВС (х+3)/(7+3)=(у-1)/(7-1), 6х+18=10у-10, у=0,6х+2,8;
СD (DC) (х-3)/(7-3)=(у-1)/(7-1), 6х-18=4у-4, у=1,5х-3,5;
AD х+2/(3+2)=(у+2)/(1+2), 3х+6=5у+10, у=0,6х-0,8.
Видим, что одинаковые угловые коэффициенты (при х) у линий BC и AD. Значит это основания.
Теперь главная фишка. Можно было бы тупо вычислить координаты точек на серединах сторон АВ и СD и написать уравнение линии, проходящей через эти точки.
Но, поскольку средняя линия параллельна основаниям, то угловой коэффициент у нее одинаков с ними, т.е. 0,6. Так как она проходит посередине между ними, то свободный член уравнения равен среднему арифметическому свободных членов уравнений BD и АС, т.е (2,8-0,8)/2=1. Получаем уравнение средней линии у=0,6х+1.
